Tautología, es aquella proposición (compuesta) que es cierta para todos los valores de verdad de sus variables.

Las tautologías no son como podría pensarse, un inútil objeto de  lujo en la lógica. Las tautologías desempeñan pues un papel fundamental en los procesos de la deducción dentro de esta lógica.

Las tautologías son muy importantes en lógica matemática ya que se consideran leyes en las cuales nos podemos apoyar

para realizar demostraciones.

Ejemplo:
La expresión ‘(p ^ q) → (p ∨ r)’ es una tautología

Se construye el árbol como el que se muestra y una vez numerado se forma el árbol empezando por el número más grande en orden descendiente.

Utilizamos el anterior árbol para construir la tabla.

p q r ¬ r p ∧ q p ∨ ¬ r (p ∧ q) → (p ∨ ¬ r)
V V V F V V V
V V F V V V V
V F V F F V V
V F F V F V V
F V V F F F V
F V F V F V V
F F V F F F V
F F F V F V V

Observa  que la última columna tiene unicamente V por que se comprueba que es una tautología.

Un ejemplo típico es la contrapositiva cuya tabla de verdad se indica a continuación:
 


A continuación se cita una lista de las tautologías más conocidas y reglas de inferencia de mayor uso:
  • Doble negación: Según esta pueden eliminarse las dobles negaciones.
a). p''⇔p
  • Leyes conmutativas: Indican que pueden conmutarse los miembros de conjunciones, disyunciones y bicondicionales.
a). (p∨q)⇔(q∨p) 35
b). (p∧q)⇔(q∧p)
c). (p↔q)⇔(q↔p)
  • Leyes asociativas: Indica que pueden agruparse como se quiera los miembros de conjunciones, disyunciones y bocondicionales.
a). [(p∨q)∨r]⇔[p∨(q∨r)]
b. [(p∧q)∧r]⇔[p∧(q∧r)]
  • Leyes distributivas: Indican que una conjunción pueden distribuirse en una disyunción, que una disyunción puede distribuirse en una conjunción y que un condicional puede distribuirse en una conjunción o en una disyunción.
a). [p∨(q∧r)]⇔[(p∨q)∧(p∨r)]
b. [p∧(q∨r)]⇔[(p∧q)∨(p∧r)]
  • Leyes de idempotencia.
a). (p∨p)⇔p
b). (p∧p)⇔p
  • Leyes de Morgan: Indican que una conjunción negativa puede ser transformada en una disyunción de negaciones.
a). (p∨q)'⇔(p'∧q')
b). (p∧q)'⇔(p'∨q')
c). (p∨q)⇔(p'∧q')'
b). (p∧q)⇔(p'∨q')'
  • Contrapositiva.
a). (p→q)⇔(q'→p') 36
  • Implicación.
a). (p→q)⇔(p'∨q)
b). (p→q)⇔(p∧q')'
c). (p∨q)⇔(p'→q)
d). (p∧q)⇔(p→q')'
e). [(p→r)∧(q→r)]⇔[(p∧q)→r]
f). [(p→q)∧(p→r)]⇔[p→(q∧r)]
  • Equivalencia
a). (p↔q)⇔[(p→q)∧(q→p)]
  • Adición.
a). p⇒(p∨q)
  • Simplificación: Indica que una conjunción esta implicada por cualquiera de sus miembros componentes.
a). (p∧q)⇒p
 Mas explicito a las tautologías fundamentales observa la siguiente imagen:
Tautologías Fundamentales
p ∨ ¬p Ley del medio excluido
¬ (p ^ ¬p) Ley de no contradicción
¬(¬p) ↔ p Doble Negación
¬(p ∨ q) ↔ ¬p ^ ¬q Ley 1 de De Morgan
¬(p ^ q) ↔ ¬p ∨ ¬q Ley 2 de De Morgan
((p → q)^p) → q Modus ponendo ponens
((p → q)^ ¬ q) → ¬ p Modus tollendo tollens
((p ∨ q) ∧ ¬ p) → q Silogismo Disyuntivo
((p → q) ∧ (q → r)) → (p → r) Silogismo Hipotético
(p → q) ↔ (¬ p ∨ q) Condicional como cláusula
((p → q) ↔ (¬ q → ¬ p) Contrapositiva


Una contradicción es aquella proposición que siempre es falsa para todos los valores de verdad, una de las mas usadas 
y mas sencilla es p∧ p’ .Lo opuesto de la tautología es la contradicción, que es F en virtud de su forma lógica.
La negación de una tautología es siempre una contradicción (y viceversa).
 Como lo muestra su correspondiente tabla de verdad:


Una proposición compuesta cuyos resultados en sus deferentes líneas de la tabla de verdad dan como resultado
 1s y 0s se le llama contingente.


DE CALCULO PROPOSICIONLA ( TAUTOLOGIA Y CONTRADICCION):
http://www.monografias.com/trabajos16/calculo-proposicional/calculo-proposicional.shtml
http://www.mitecnologico.com/Main/TautologiasYContradicciones

http://racionalidadcolectiva.blogspot.com/2008/05/clase-3.html